Đề thi giữa kì 2 Toán 12 Cánh diều - Đề số 2

a) Hình phẳng (A) được giới hạn các đường \(y = f(x) = {x^2} - 4x + 5\), y = 0, x = 0, x = 4.

b) Diện tích hình phẳng (A) được giới hạn là 6.

c) Tổng diện tích đáy trên và đáy dưới của khối tròn xoay là \(17\pi \).

d) Thể tích khối tròn xoay này khi quay hình phẳng (A) quanh trục Ox là \(\frac{{78}}{5}\pi \).

a) Điểm M(4;2;2) thuộc vùng phủ sóng.

b) Tập hợp tất cả các điểm thuộc vùng phủ sóng của thiết bị được giới hạn bởi mặt cầu có phương trình \({\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 4\).

c) Một bức tường được xây gần đó có phương trình (P): x + y – z = 6 sẽ chắn sóng của thiết bị.

d) Vùng nhận được tín hiệu trên mặt phẳng (P) là hình tròn có bán kính bằng 4.

Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số mũ: \(\int {{a^x}dx} = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\).

\(\int {{e^x}dx} = \frac{{{e^x}}}{{\ln e}} + C = {e^x} + C\).

F(x) là nguyên hàm của f(x) nếu F’(x) = f(x).

Vì \(F'(x) = (\cos 3x)' = - 3\sin 3x\) nên F(x) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = - 3\sin 3x\).

Áp dụng tính chất của tích phân \(\int\limits_a^b {\left[ {f(x) \pm g(x)} \right]dx} = \int\limits_a^b {f(x)dx} \pm \int\limits_a^b {g(x)dx} \).

\(\int\limits_a^b {f(x) + g(x)dx} = \int\limits_a^b {f(x)dx} + \int\limits_a^b {g(x)dx} \) là khẳng định đúng.

Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số lũy thừa: \(\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\).

Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số \(y = \frac{1}{x}\): \(\int {\frac{1}{x}dx} = \ln \left| x \right| + C\).

\(\int {f(x)dx} = \int {\left( {3 + \frac{1}{x}} \right)dx} = 3x + \ln \left| x \right| + C\).

Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số lũy thừa \(\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\).

Áp dụng tính chất của tích phân \(\int\limits_a^b {kf(x)dx} = k\int\limits_a^b {f(x)dx} \).

\(\int\limits_0^3 {\frac{{f(x)}}{2}dx} = \frac{1}{2}\int\limits_0^3 {f(x)dx} = \frac{1}{2}\int\limits_0^3 {\frac{{2{x^2}}}{3}dx} = \frac{1}{3}\int\limits_0^3 {{x^2}dx} = \frac{1}{3}.\frac{{{x^3}}}{3}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^3}\\{_0}\end{array}} \right. = \frac{1}{3}.\frac{{{3^3}}}{3} = 3\).

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên [a;b] và hai đường thẳng x = a, x = b được tính bằng công thức \(S\int\limits_a^b {\left| {f(x) - g(x)} \right|dx} \).

\({S_1} = \int\limits_a^{{c_1}} {\left| {f(x)} \right|dx} \Rightarrow {S_1} = \int\limits_a^{{c_1}} {f(x)dx} \);

\({S_2} = \int\limits_{{c_1}}^{{c_2}} {\left| {f(x)} \right|dx} \Rightarrow {S_2} = - \int\limits_{{c_1}}^{{c_2}} {f(x)dx} \Rightarrow - {S_2} = \int\limits_{{c_1}}^{{c_2}} {f(x)dx} \);

\({S_3} = \int\limits_{{c_3}}^{{c_3}} {\left| {f(x)} \right|dx} \Rightarrow {S_3} = \int\limits_{{c_3}}^{{c_3}} {f(x)dx} \);

\({S_4} = \int\limits_{{c_3}}^b {\left| {f(x)} \right|dx} \Rightarrow {S_4} = - \int\limits_{{c_3}}^b {f(x)dx} \Rightarrow - {S_4} = \int\limits_{{c_3}}^b {f(x)dx} \).

Ta có: \(\int\limits_a^b {f(x)dx} = \int\limits_a^{{c_1}} {f(x)dx} + \int\limits_{{c_1}}^{{c_2}} {f(x)dx} + \int\limits_{{c_2}}^{{c_3}} {f(x)dx} + \int\limits_{{c_3}}^b {f(x)dx} = {S_1} - {S_2} + {S_3} - {S_4}\).

Lập phương trình tham số của trục tung. Thay tọa độ x, y, z theo t của phương trình vừa lập vào phương trình mặt phẳng để tìm t. Từ đó kết luận tung độ giao điểm.

Trục tung có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = t\\z = 0\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\).

Xét phương trình \(0 + 2t + 3.0 - 12 = 0 \Leftrightarrow 2t - 12 = 0 \Leftrightarrow t = 6\).

Vậy tung độ giao điểm của trục tung và mặt phẳng \((\alpha )\) là y = 6.

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng.

\(d\left( {M,(\alpha )} \right) = \frac{{\left| {1.( - 2) - 5.1 + 2.2 - 7} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{( - 5)}^2} + {2^2}} }} = \frac{{10}}{{\sqrt {30} }} = \frac{{\sqrt {10} }}{{\sqrt 3 }}\).

Từ phương trình tổng quát, xác định vecto pháp tuyến của mặt phẳng, từ đó tìm vecto có giá vuông góc với vecto pháp tuyến vừa tìm.

Vecto pháp tuyến của \((\beta )\) là \(\overrightarrow n = (2;3; - 1)\).

Xét các phương án, thấy chỉ có 0.2 + 2.3 + 6.(-1) = 0, tức \(\overrightarrow u = (0;2;6)\) có giá vuông góc với \(\overrightarrow n = (2;3; - 1)\).

Vậy \(\overrightarrow u = (0;2;6)\) là một vecto chỉ phương của \((\beta )\).

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P), (Q) tương ứng có các vectơ pháp tuyến là \(\vec n{\rm{\;}} = \left( {A;B;C} \right),\vec n'{\rm{\;}} = \left( {A';B';C'} \right)\). Khi đó, góc giữa (P) và (Q), kí hiệu là ((P), (Q)) được tính theo công thức:

\(\cos \left( {(P),(Q)} \right) = \frac{{\left| {AA' + BB' + CC'} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} .\sqrt {A{'^2} + B{'^2} + C{'^2}} }}\).

\(\cos \left( {(P),(Q)} \right) = \frac{{\left| {1.( - 1) + 2.1 + 1.2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {1^2}} .\sqrt {{{( - 1)}^2} + {1^2} + {2^2}} }} = \frac{1}{2} \Rightarrow \left( {(P),(Q)} \right) = {60^o}\).

Thay tọa độ các điểm vào phương trình, nếu thỏa mãn thì điểm đó thuộc mặt phẳng

Thay tọa độ các điểm vào phương trình mặt phẳng, thấy chỉ có tọa độ điểm M(2;-1;3) không thỏa mãn phương trình mặt phẳng, do: 1.2 – 2.(-1) + 1.3 – 1 \( \ne \) 0.

Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng Ax + By + Cz + D = 0, với A, B, C không đồng thời bằng 0.

Chỉ có phương trình \(x - y + 1 = 0\) ở đáp án C có dạng phương trình tổng quát của mặt phẳng.

a) Hình phẳng (A) được giới hạn các đường \(y = f(x) = {x^2} - 4x + 5\), y = 0, x = 0, x = 4.

b) Diện tích hình phẳng (A) được giới hạn là 6.

c) Tổng diện tích đáy trên và đáy dưới của khối tròn xoay là \(17\pi \).

d) Thể tích khối tròn xoay này khi quay hình phẳng (A) quanh trục Ox là \(\frac{{78}}{5}\pi \).

Cho hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số liên tục trên [a;b] y = f(x), y = 0, đường thẳng x = a, x = b.

a) Quan sát đồ thị và nhận xét.

b) Áp dụng công thức tính diện tích của hình phẳng \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx} \).

c) Bán kính hai đáy lần lượt là f(1) và f(4).

d) Áp dụng công thức tính thể tích vật thể quay quanh trục Ox \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(x)dx} \).

a)Sai. Hình phẳng (A) được giới hạn các đường \(y = f(x) = {x^2} - 4x + 5\), y = 0, x = 1, x = 4.

b) Đúng. Quan sát đoạn [1;4], thấy đồ thị y = f(x) nằm phía trên trục hoành.

Do đó, trên đoạn [1;4] ta có f(x) > 0, suy ra |f(x)| = f(x).

Diện tích hình phẳng (A) là:

\(S = \int\limits_1^4 {\left| {{x^2} - 4x + 5} \right|dx} = \int\limits_1^4 {\left( {{x^2} - 4x + 5} \right)dx} = \left( {\frac{{{x^3}}}{3} - 2{x^2} + 5x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^4}\\{_1}\end{array}} \right.\)

\( = \left( {\frac{{{4^3}}}{3} - {{2.4}^2} + 5.4} \right) - \left( {\frac{{{1^3}}}{3} - {{2.1}^2} + 5.1} \right) = 6\).

c) Sai. Bán kính đáy nhỏ của khối tròn xoay là \(f(1) = {1^2} - 4.1 + 5 = 2\), bán kính đáy lớn là \(f(4) = {4^2} - 4.4 + 5 = 5\).

Tổng diện tích hai đáy là \(S = \pi {.2^2} + \pi {.5^2} = 41\pi \).

d) Đúng. Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng (A) quanh trục Ox là:

\(V = \pi \int\limits_1^4 {{{\left( {{x^2} - 4x + 5} \right)}^2}dx} = \frac{{78\pi }}{5}\).

a) Điểm M(4;2;2) thuộc vùng phủ sóng.

b) Tập hợp tất cả các điểm thuộc vùng phủ sóng của thiết bị được giới hạn bởi mặt cầu có phương trình \({\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 4\).

c) Một bức tường được xây gần đó có phương trình (P): x + y – z = 6 sẽ chắn sóng của thiết bị.

d) Vùng nhận được tín hiệu trên mặt phẳng (P) là hình tròn có bán kính bằng 4.

a) Áp dụng biểu thức tính khoảng cách giữa hai điểm. Nếu khoảng cách đó nhỏ hơn bán kính phủ sóng thì điểm M thuộc vùng phủ sóng.

b) Áp dụng quy tắc lập phương trình mặt cầu biết tâm và bán kính.

c) Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (P). Nếu khoảng cách đỏ nhỏ nhỏ hơn bán kính phủ sóng thì bức tường chắn được sóng của thiết bị.

d) Áp dụng định lí Pythagore.

a)Đúng. \(AM = \sqrt {{{(4 - 4)}^2} + {{(2 - 0)}^2} + {{(2 - 0)}^2}} = 2\sqrt 2 < 4\).

Khoảng cách từ M đến A nhỏ hơn bán kính phủ sóng nên M thuộc vùng phủ sóng.

b) Sai. Vùng phủ sóng là mặt cầu tâm A(4;0;0), bán kính R = 4 nên có phương trình:

\({\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 16\).

c) Đúng. \(d\left( {A,(P)} \right) = \frac{{\left| {1.4 + 1.0 - 1.0 - 6} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3} < 4\).

Vì khoảng cách từ bức tường tới thiết bị phát sóng nhỏ hơn bán kính phủ sóng nên bức tường đó chắn được sóng của thiết bị.

d) Sai. Bán kính vùng nhận được tín hiệu trên mặt phẳng (P) là \(\sqrt {{4^2} - {{\left( {\frac{{2\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{2\sqrt {33} }}{3}\).

Tính \(\int\limits_{20}^{90} {P'(x)dx} \).

\(P(x) = \int\limits_{20}^{90} {P'(x)dx} = \int\limits_{20}^{90} {\left( {16 - 0,02x} \right)dx} = \left( {16x - \frac{{{x^2}}}{{100}}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^{90}}\\{_{20}}\end{array} = 1043} \right.\).

Tính \(\int\limits_0^5 {v(t)dt} \).

\(s(5) = \int\limits_0^5 {v(t)dt} = \int\limits_0^5 {\left( {4{t^3} + 2t + 3} \right)dt} = 665\) (m).

Mặt phẳng (Q) có cùng vecto pháp tuyến với mặt phẳng (Q) do hai mặt phẳng song song với nhau.

(Q) // (P) và M(1;2;3) thuộc (Q) nên phương trình mặt phẳng (Q) là:

\(1(x - 1) + 2(y - 2) + 3(z - 3) = 0 \Leftrightarrow x + 2y + 3z - 14 = 0\).

Vậy a + b + c = 1 + 3 + (-14) = -10.

Chứng minh \(OM \bot (P)\) và \(\overrightarrow {OM} \) là một vecto pháp tuyến của (P). Từ đó viết phương trình tổng quát của (P).

Lấy \(I \in AB\) sao cho \(CI \bot AB\). Khi đó, CI là đường cao của tam giác ABC và trực tâm M thuộc CI.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}OC \bot (OAB) \Rightarrow OC \bot AB\\CI \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot (OCI) \Rightarrow AB \bot OM\) (vì OM thuộc (OCI)) (1)

Gọi E là giao điểm của BM và AC. Khi đó \(BE \bot AC\) vì M là trực tâm tam giác ABC.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BE \bot AC\\OB \bot (OAC) \Rightarrow OB \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot (OBE) \Rightarrow AC \bot OM\) (vì OM thuộc (OBE)) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(OM \bot (ABC)\) hay \(OM \bot (P)\).

Do đó, \(\overrightarrow {OM} = (1;2;3)\) là một vecto pháp tuyến của (P).

Mặt phẳng (P) đi qua M(1;2;3) và nhận \(\overrightarrow {OM} = (1;2;3)\) làm vecto pháp tuyến có phương trình:

\(1(x - 1) + 2(y - 2) + 3(z - 3) = 0 \Leftrightarrow x + 2y + 3z - 14 = 0\).

Vậy S = 2a + 3b – 4c = 2.1 + 3.2 – 4.3 = -4.

Áp dụng tính chất của tích phân: \(\int\limits_a^b {f(x)dx} = \int\limits_a^c {f(x)dx} + \int\limits_c^b {f(x)dx} \).

Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số lũy thừa: \(\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\).

\(\int\limits_{ - 1}^2 {f(x)dx} = \int\limits_{ - 1}^1 {f(x)dx} + \int\limits_1^2 {f(x)dx} = \int\limits_{ - 1}^1 {(2x - 1)dx} + \int\limits_1^2 {1dx} \)

\(\left( {{x^2} - x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^1}\\{_{ - 1}}\end{array}} \right. + x\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^2}\\{_1}\end{array}} \right. = \left( {{1^2} - 1} \right) - \left( {{{( - 1)}^2} - ( - 1)} \right) + 2 - 1 = 0 - 2 + 2 - 1 = - 1\).

Ứng dụng tích phân, tính diện tích mặt cắt khối bê tông.

Áp dụng công thức tính thể tích: V = Sh.

Gọi parabol giới hạn mặt cắt của khối bê tông lần lượt là (P) và (Q). Giả sử (P) là parabol nằm phía trên.

(P) đi qua điểm có tọa độ (10;0) và tọa độ đỉnh là (0;2,5) nên ta có hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}0 = a{.10^2} + b.10 + c\\\frac{5}{2} = a{.0^2} + b.0 + c\\ - \frac{b}{{2a}} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = \frac{5}{2}\\b = 0\\100a + 10b = - 2,5\end{array} \right. \Rightarrow (P):y = - \frac{1}{{40}}{x^2} + \frac{5}{2} = 0\).

(Q) đi qua điểm có tọa độ (9,5;0) và tọa độ đỉnh là (0;2) nên ta có hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}0 = a.{\left( {\frac{{19}}{2}} \right)^2} + b.\frac{{19}}{2} + c\\2 = a{.0^2} + b.0 + c\\ - \frac{b}{{2a}} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 2\\b = 0\\\frac{{361}}{4}a + \frac{{19}}{2}b = - 2\end{array} \right. \Rightarrow (Q):y = - \frac{8}{{361}}{x^2} + 2 = 0\).

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và trục hoành là:

\({S_P} = \int\limits_{ - 10}^{10} {\left( { - \frac{1}{{40}}{x^2} + \frac{5}{2}} \right)dx} = \frac{{100}}{3}\).

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (Q) và trục hoành là:

\({S_Q} = \int\limits_{ - 9,5}^{9,5} {\left( { - \frac{8}{{361}}{x^2} + 2} \right)dx} = \frac{{76}}{3}\).

Diện tích mặt cắt khối bê tông là:

\(S = {S_P} - {S_Q} = \frac{{100}}{3} - \frac{{76}}{3} = 8\) \(({m^2})\).

Thể tích khối bê tông là:

\(V = Sh = 8.5 = 40\) \(({m^3})\).

Gọi I(a;b;c) là điểm thỏa mãn \(3\overrightarrow {IA} + 5\overrightarrow {IB} - 7\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \).

Biến đổi biểu thức P theo điểm I.

Gọi điểm I(a;b;c) là điểm thỏa mãn \(3\overrightarrow {IA} + 5\overrightarrow {IB} - 7\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \).

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}3(1 - a) + 5( - 1 - a) - 7(3 - a) = 0\\3(1 - b) + 5(2 - b) - 7( - 1 - b) = 0\\3(1 - c) + 5(0 - c) - 7(2 - c) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 23\\b = 20\\c = - 11\end{array} \right. \Rightarrow I( - 23;20; - 11)\).

Ta có \(P = \left| {3\overrightarrow {MA} + 5\overrightarrow {MB} - 7\overrightarrow {MC} } \right|\)

\( = \left| {3\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {3IA} + 5\overrightarrow {MI} + 5\overrightarrow {BI} - 7\overrightarrow {MI} - 7\overrightarrow {IC} } \right|\)

\( = \left| {\overrightarrow {MI} + 3\overrightarrow {IA} + 5\overrightarrow {IB} - 7\overrightarrow {IC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MI} } \right| = MI\).

P đạt giá trị nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất. Mà M thuộc mặt phẳng \((\alpha )\) nên MI nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng \((\alpha )\), hay MI là khoảng cách từ I đến mặt phẳng \((\alpha )\).

Ta có \(d\left( {I;(\alpha )} \right) = \frac{{\left| {2.( - 23) - 1.20 + 2.( - 11) + 7} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} }} = 27\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 27.