Đề Ôn Thi TN THPT Năm 2023 Môn Toán Online-Đề 13

Question 1

Câu 1:

Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số \(y = {x^4} + m{x^3} – mx + 2023\) (\(m\) là tham số )?

A
\(D\left( {2;2024} \right)\).
B
\(A\left( { - 1;2024} \right)\).
C
\(C\left( {0;2024} \right)\).
D
\(B\left( {1;2023} \right)\).

Answer

\(D\left( {2;2024} \right)\).

Question 2

Câu 2:

Khối cầu \(\left( S \right)\) có diện tích mặt cầu bằng \(16\pi \) (đvdt). Tính thể tích khối cầu.

A
\(\frac{{32\pi }}{3}\left( {dvdt} \right)\).
B
\(\frac{{32\pi \sqrt 3 }}{9}\left( {dvdt} \right)\).
C
.\(\frac{{32\pi }}{9}\left( {dvdt} \right)\).
D
\(\frac{{32\pi \sqrt 3 }}{3}\left( {dvdt} \right)\).

Answer

\(\frac{{32\pi \sqrt 3 }}{9}\left( {dvdt} \right)\).

Question 3

Câu 3:

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \cos 3x\). Mệnh đề nào sau đây đúng

A
\(\int {f\left( x \right){\text{d}}x = 3\sin 3x + C} \).
B
\(\int {f\left( x \right){\text{d}}x = - 3\sin 3x + C} \).
C
\(\int {f\left( x \right){\text{d}}x = - \frac{1}{3}\sin 3x + C} \).
D
\(\int {f\left( x \right){\text{d}}x = \frac{1}{3}\sin 3x + C} \).

Answer

\(\int {f\left( x \right){\text{d}}x = 3\sin 3x + C} \).

Question 4

Câu 4:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có đồ thị như hình bên. Đề Ôn Thi TN THPT Năm 2023 Môn Toán Online-Đề 13

Tìm số điểm cực trị của hàm số \(y = f\left( x \right)\).

A
\(0\).
B
\(3\).
C
\(2\).
D
\(1\).

Answer

\(S = \left( { - \infty ;2} \right)\).

Answer

\(\frac{1}{6}{a^3}\).

Answer

\(\left( {0;\frac{1}{2}} \right)\).

Answer

\(x = 8\).

Answer

\(w = - 9 + 14i\).

Answer

\(\overrightarrow n = \left( { - 2;{\text{ }} - {\text{6; }} - {\text{10}}} \right)\).

Answer

\(M\left( { - 2;3;7} \right)\).

Answer

\(\overline z = - 3 - 5i\).

Answer

\(x = 1\) và \(y = - 2\).

Answer

\(y = \frac{{ - x + 2}}{{x + 1}}\).

Answer

\(C_{12}^2\).

Answer

\(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\).

Answer

\(y' = \frac{{{3^{2023}}}}{{\ln 3}}\).

Answer

\(\left( { - 2;1} \right)\).

Answer

\(12\pi {a^2}\)

Answer

\(I = 3\).

Answer

\({u_1} = - 3\).

Answer

\(\int {f(x + 2)} \,{\text{d}}x = \frac{{{x^2}}}{4} + 2x + C\).

Answer

\(y = \frac{{x - 2}}{{x - 1}}\).

Answer

\({2^{18}}\).

Answer

\(90^\circ \).

Answer

\(\frac{{e + 1}}{2}\).

Answer

\(\left( P \right):5x + 2y + 4z - 5 = 0\).

Answer

\(P = - 1\)

Answer

\(\frac{1}{6}\).

Answer

\(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\).

Answer

\(65021\).

Answer

\(\frac{{31}}{8}\).

Answer

\(\frac{{8{a^3}}}{3}\).

Answer

\(d:\frac{{7x - 1}}{3} = \frac{{7y - 4}}{8} = \frac{{7z + 3}}{{ - 5}}\).

Answer

\(\frac{{16\sqrt 6 }}{9}{a^3}\).

Answer

\((201;202).\)

Answer

\(\frac{{\sqrt 6 }}{3}\)

Answer

\(\left( {1;\frac{3}{2}} \right)\).

Answer

\(\left| z \right| = 1\).

Answer

\(I\left( { - 2;0;1} \right)\), \(R = 1\).

Question 5

Câu 5:

Tập nghiệm \(S\) của bất phương trình \({5^{x + 2}} < {\left( {\frac{1}{{25}}} \right)^{ - x}}\) là

A
\(S = \left( {1; + \infty } \right)\).
B
\(S = \left( {2; + \infty } \right)\).
C
\(S = \left( { - \infty ;1} \right)\).
D
\(S = \left( { - \infty ;2} \right)\).

Question 6

Câu 6:

Cho hình chóp tam giác \(S.ABC\) với \(SA\), \(SB\), \(SC\) đôi một vuông góc và \(SA = SB = SC = a\). Tính thế tích của khối chóp \(S.ABC\).

A
\(\frac{2}{3}{a^3}\).
B
\(\frac{1}{3}{a^3}\).
C
\(\frac{1}{6}{a^3}\).
D
\(\frac{1}{2}{a^3}\).

Question 7

Câu 7:

Tập xác định của hàm số \(y = {\left( {2x – {x^2}} \right)^{ – \pi }}\) là.

A
\(\left[ {0;2} \right]\).
B
\(\left( {0;\frac{1}{2}} \right)\).
C
\(\left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\).
D
\(\left( {0;2} \right)\).

Question 8

Câu 8:

Nghiệm của phương trình \({\log _2}\left( {{{\log }_4}x} \right) = 1\) là:

A
\(x = 2\).
B
\(x = 8\).
C
\(x = 16\).
D
\(x = 4\).

Question 9

Câu 9:

Cho \(f,\,g\) là hai hàm liên tục trên \(\left[ {1\,;\,3} \right]\) thỏa mãn điều kiện \(\int\limits_1^3 {\left[ {f\left( x \right) + 3g\left( x \right)} \right]\,{\text{d}}x} = 10\) đồng thời \(\int\limits_1^3 {\left[ {2f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right]\,{\text{d}}x} = 6\). Tính \(\int\limits_1^3 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]\,{\text{d}}x} \).

A
\(8\).
B
\(9\).
C
\(6\).
D
\(7\).

Question 10

Câu 10:

Điểm \(M\) trong hình vẽ bên biểu diễn số phức \(z\). Khi đó số phức \(w = 2z – 3 + 4i\) là Đề Ôn Thi TN THPT Năm 2023 Môn Toán Online-Đề 13

A
\(w = - 9 - 14i\).
B
\(w = 9 + 14i\).
C
\(w = - 9 + 6i\).
D
\(w = - 9 + 14i\).

Question 11

Câu 11:

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), vectơ nào sau đây không phải là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right):x + 3y – 5z + 2 = 0\).

A
\(\overrightarrow n = \left( { - 1; - 3{\text{; 5}}} \right)\).
B
\(\overrightarrow n = \left( { - 3;{\text{ }} - 9{\text{; 15}}} \right)\).
C
\(\overrightarrow n = \left( {2;{\text{ 6; }} - {\text{10}}} \right)\).
D
\(\overrightarrow n = \left( { - 2;{\text{ }} - {\text{6; }} - {\text{10}}} \right)\).

Question 12

Câu 12:

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\)cho \(A\left( { – 1;\,\,2;\,\,3} \right)\), \(B\left( {1;\,\,0;\,\,2} \right).\) Tìm tọa độ điểm \(M\) thỏa mãn \(\overrightarrow {AB} = 2.\overrightarrow {MA} \)?

A
\(M\left( { - 2;3;7} \right)\).
B
\(M\left( { - 2;3;\frac{7}{2}} \right)\).
C
\(M\left( { - 4;6;7} \right)\).
D
\(M\left( { - 2; - 3;\frac{7}{2}} \right)\).

Question 13

Câu 13:

Điểm \(M\) trong hình vẽ bên biểu diễn số phức \(z\). Chọn kết luận đúng về số phức \(\overline z \). Đề Ôn Thi TN THPT Năm 2023 Môn Toán Online-Đề 13

A
\(\overline z = - 3 + 5i\).
B
\(\overline z = 3 - 5i\).
C
\(\overline z = 3 + 5i\).
D
\(\overline z = - 3 - 5i\).

Question 14

Câu 14:

Cho hàm số \(f(x)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị lần lượt là. Đề Ôn Thi TN THPT Năm 2023 Môn Toán Online-Đề 13

A
\(x = 1\) và \(y = - 2\).
B
\(x = - 1\) và \(y = - 2\).
C
\(x = 1\) và \(y = 2\).
D
\(x = - 1\) và \(y = 2\).

Question 15

Câu 15:

Cho \(a\) và \(b\) là hai số thực dương thỏa mãn \({a^3}{b^2} = 32\). Giá trị của \(3{\log _2}a + 2{\log _2}b\) bằng

A
\(4\).
B
\(5\).
C
\(32\).
D
\(2\).

Question 16

Câu 16:

Đồ thị hình dưới đây là của hàm số nào? Đề Ôn Thi TN THPT Năm 2023 Môn Toán Online-Đề 13

A
\(y = \frac{{ - x}}{{x + 1}}\).
B
\(y = \frac{{ - x + 2}}{{x + 1}}\).
C
\(y = \frac{{ - x + 1}}{{x + 1}}\).
D
\(y = \frac{{ - 2x + 1}}{{2x + 1}}\).

Question 17

Câu 17:

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\frac{{x – 1}}{2} = \frac{{y – 2}}{1} = \frac{{z + 1}}{2}\) nhận véc tơ \(\overrightarrow u \left( {a;2;b} \right)\) làm véc tơ chỉ phương. Tính \(a + b\).

A
\( - 4\).
B
\( - 8\).
C
\(8\).
D
\(4\).

Question 18

Câu 18:

Tập hợp \(M\) có \(12\) phần tử. Số tập con gồm 2 phần tử của \(M\) là

A
\({12^2}\).
B
\(C_{12}^2\).
C
\(A_{12}^{10}\).
D
\(A_{12}^2\).

Question 19

Câu 19:

Thể tích \(V\) của khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng \(2a\) và cạnh bên bằng \(a\) là

A
\(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).
B
\(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\).
C
\(V = {a^3}\sqrt 3 \).
D
\(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\).

Question 20

Câu 20:

Tính đạo hàm của hàm số: \(y = {3^{2023x}}\).

A
\(y' = \frac{{{3^{2023}}}}{{\ln 3}}\).
B
\(y' = 2023\ln {3.3^{2023x}}\).
C
\(y' = \ln {3.3^{2023x}}\).
D
\(y' = {3^{2023}}\).

Question 21

Câu 21:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Biết hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? Đề Ôn Thi TN THPT Năm 2023 Môn Toán Online-Đề 13

A
\(\left( {2;3} \right)\).
B
\(\left( { - 3;0} \right)\).
C
\(\left( { - 2;1} \right)\).
D
\(\left( { - \infty ; - 6} \right)\).

Question 22

Câu 22:

Cho hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB = a,{\text{ }}AD = a\sqrt 3 \). Tính diện tích xung quanh của hình tròn xoay sinh ra khi quay hình chữ nhật \(ABCD\) quanh cạnh \(AB\).

A
\(2\pi {a^2}\sqrt 3 \)
B
\(6{a^2}\sqrt 3 \)
C
\(12\pi {a^2}\sqrt 3 \)
D
\(12\pi {a^2}\)

Question 23

Câu 23:

Cho \(f\left( x \right)\)và \(g\left( x \right)\)là các hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\), thỏa mãn \(\int\limits_0^{10} {f\left( x \right){\text{d}}x} = 21;\,\int\limits_0^{10} {g\left( x \right){\text{d}}x} = 16;\,\int\limits_3^{10} {\left( {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right){\text{d}}x} = 2\). Tính \(I = \int\limits_0^3 {\left( {f\left( x \right) – {\text{g}}\left( x \right)} \right){\text{d}}x} \)

A
\(I = 3\).
B
\(I = 15\).
C
\(I = 7\).
D
\(I = 11\).

Question 24

Câu 24:

Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_{10}} = 25\) và công sai \(d{\text{ }} = {\text{ }}3.\) Khi đó \({u_1}\) bằng

A
\({u_1} = 3\).
B
\({u_1} = - 2\).
C
\({u_1} = 2\).
D
\({u_1} = - 3\).

Question 25

Câu 25:

Cho \(\int {f(4x)\,} {\text{d}}x = {x^2} + 3x + c\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A
\(\int {f(x + 2)\,} {\text{d}}x = {x^2} + 7x + C\).
B
\(\int {f(x + 2)} \,{\text{d}}x = \frac{{{x^2}}}{4} + 4x + C\).
C
\(\int {f(x + 2)} \,{\text{d}}x = \frac{{{x^2}}}{4} + 2x + C\).
D
\(\int {f(x + 2)} \,{\text{d}}x = \frac{{{x^2}}}{2} + 4x + C\).

Question 26

Câu 26:

Cho hàm \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau: Đề Ôn Thi TN THPT Năm 2023 Môn Toán Online-Đề 13

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng

A
\(2\).
B
\( - 5\).
C
\(3\).
D
\(0\).

Question 27

Câu 27:

Hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} – \frac{5}{2}{x^2} + 6x + 1\) đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn \(\left[ {1\,;\,3} \right]\) lần lượt tại hai điểm \({x_1}\) và \({x_2}\). Khi đó \({x_1} + {x_2}\) bằng

A
\(4\).
B
\(2\).
C
\(5\).
D
\(3\)

Question 28

Câu 28:

Hàm số nào sau đây không đồng biến trên khoảng \(\left( { – \infty ;\, + \infty } \right)\)?

A
\(y = x + 1\).
B
\(y = {x^3} + 1\).
C
\(y = \frac{{x - 2}}{{x - 1}}\).
D
\(y = {x^5} + {x^3} - 10\).

Vì hàm số \(y = \frac{{x – 2}}{{x – 1}}\)có tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\)nên hàm số không đồng biến trên \(\left( { – \infty ; + \infty } \right)\)

Question 29

Câu 29:

Cho \(a,b > 0\), nếu \({\log _8}a + {\log _4}{b^2} = 5\) và \({\log _4}{a^2} + {\log _8}b = 7\) thì giá trị của \(ab\) bằng:

A
\({2^{18}}\).
B
\(8\).
C
\(2\).
D
\({2^9}\).

Ta có: \(\left\{ \begin{gathered} {\log _8}a + {\log _4}{b^2} = 5 \hfill \\ {\log _4}{a^2} + {\log _8}b = 7 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{1}{3}{\log _2}a + {\log _2}b = 5 \hfill \\ {\log _2}a + \frac{1}{3}{\log _2}b = 7 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {\log _2}a = 6 \hfill \\ {\log _2}b = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = {2^6} \hfill \\ b = {2^3} \hfill \\ \end{gathered} \right.\).Suy ra: \(ab = {2^6}{.2^3} = {2^9}\).

Question 30

Câu 30:

Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có \(AB = a\) và \(AA' = \sqrt 2 \,a\). Góc giữa hai đường thẳng \(AB'\) và \(BC'\) bằng Đề Ôn Thi TN THPT Năm 2023 Môn Toán Online-Đề 13

A
\(90^\circ \).
B
\(30^\circ \).
C
\(60^\circ \).
D
\(45^\circ \).

Ta có \(\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {BC'} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BB'} } \right)\left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CC'} } \right)\)\( = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CC'} + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {CC'} \)\( = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CC'} + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {CC'} \)\( = – \frac{{{a^2}}}{2} + 0 + 0 + 2{a^2} = \frac{{3{a^2}}}{2}\).Suy ra \(\cos \left( {\overrightarrow {AB'} ,\overrightarrow {BC'} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {BC'} }}{{\left| {\overrightarrow {AB'} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC'} } \right|}}\)\( = \frac{{\frac{{3{a^2}}}{2}}}{{a\sqrt 3 .a\sqrt 3 }} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {\left( {AB',BC'} \right)} = 60^\circ \).

Question 31

Câu 31:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) biết \(f\left( 0 \right) = \frac{1}{2}\) và \(f'\left( x \right) = x{e^{{x^2}}}\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Khi đó \(\int\limits_0^1 {xf\left( x \right)dx} \) bằng

A
\(\frac{{e - 1}}{2}\).
B
\(\frac{{e + 1}}{2}\).
C
\(\frac{{e - 1}}{4}\).
D
\(\frac{{e + 1}}{4}\).

Ta có \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right).{\text{d}}x} = \int {x.{e^{{x^2}}}{\text{d}}x} = \frac{1}{2}\int {{e^{{x^2}}}.{\text{d}}\left( {{x^2}} \right)} = \frac{1}{2}{e^{{x^2}}} + C\).Mà \(f\left( 0 \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{2} + C = \frac{1}{2} \Leftrightarrow C = 0 \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{1}{2}{e^{{x^2}}}\).\( \Rightarrow \int\limits_0^1 {xf\left( x \right)dx} = \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {x{e^{{x^2}}}dx} = \frac{1}{4}\int\limits_0^1 {{e^{{x^2}}}d\left( {{x^2}} \right)} = \left. {\frac{1}{4}{e^{{x^2}}}} \right|_0^1 = \frac{{e – 1}}{4}\).

Question 32

Câu 32:

Trong không gian tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {1;0;0} \right)\) và đường thẳng\(d:\frac{{x – 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z – 1}}{2}\). Viết phương trình mặt phẳng chứa điểm \(A\) và đường thẳng \(d\)?

A
\(\left( P \right):2x + 1y + 2z - 2 = 0\).
B
\(\left( P \right):2x + 1y + 2z - 1 = 0\).
C
\(\left( P \right):5x + 2y + 4z - 5 = 0\).
D
\(\left( P \right):5x - 2y - 4z - 5 = 0\).

VTCP của \(d\) là \(\overrightarrow a = \left( {2;1;2} \right)\) và \(B\left( {1; – 2;1} \right) \in d\).Khi đó: \(\overrightarrow {AB} = \left( {0; – 2;1} \right)\).Do đó véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow a } \right] = \left( {5, – 2; – 4} \right)\).Từ đó suy ra phương trình mặt phẳng cần tìm là \(5\left( {x – 1} \right) – 2\left( {y – 0} \right) – 4\left( {z – 0} \right) = 0\) hay \(5x – 2y – 4z – 5 = 0\).

Question 33

Câu 33:

Cho số phức \(z = a + bi{\text{ (}}a,b \in \mathbb{R}{\text{)}}\) thoả mãn \((1 + i)z + 2\overline z = 3 + 2i\). Tính \(P = a + b\)

A
\(P = \frac{1}{2}\).
B
\(P = 1\).
C
\(P = - \frac{1}{2}\).
D
\(P = - 1\)

\((1 + i)z + 2\overline z = 3 + 2i \Leftrightarrow (1 + i)(a + bi) + 2(a – bi) = 3 + 2i \Leftrightarrow (3a – b) + (a – b)i = 3 + 2i\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 3a – b = 3 \hfill \\ a – b = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = \frac{1}{2} \hfill \\ b = – \frac{3}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right.\). Suy ra: \(P = a + b = – 1\).

Question 34

Câu 34:

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông đỉnh \(B\), \(AB = a\), \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = a\). Khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng

A
\(\frac{a}{2}\)
B
\(a\)
C
\(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
D
\(\frac{{a\sqrt 6 }}{3}\)

Kẻ \(AH \bot SB\) trong mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\)Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {BC \bot AB} \\ {BC \bot SA} \end{array} \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)} \right.\) \( \Rightarrow BC \bot AH\)Vậy \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {AH \bot BC} \\ {AH \bot SB} \end{array} \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right)} \right.\) \( \Rightarrow d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH = \frac{1}{2}SB = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Question 35

Câu 35:

Có 6 chiếc ghế được kê thành một hàng ngang. Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh, gồm 3 học sinh lớp \(A\), 2 học sinh lớp \(B\) và 1 học sinh lớp \(C\), ngồi vào hàng ghế đó, sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh. Xác suất để học sinh lớp \(C\) chỉ ngồi cạnh học sinh lớp \(B\) bằng

A
\(\frac{1}{5}\).
B
\(\frac{2}{{15}}\).
C
\(\frac{3}{{20}}\).
D
\(\frac{1}{6}\).

Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh thành hàng ngang, không gian mẫu có số phần tử là: \(6!\).Gọi \(M\) là biến cố “học sinh lớp \(C\) chỉ ngồi cạnh học sinh lớp \(B\)”.Xét các trường hợp:Trường hợp 1. Học sinh lớp \(C\) ngồi đầu dãy+ Chọn vị trí cho học sinh lớp \(C\) có 2 cách.+ Chọn 1 học sinh lớp \(B\) ngồi cạnh học sinh lớp \(C\) có 2 cách.+ Hoán vị các học sinh còn lại cho nhau có \(4!\) cách.Trường hợp này thu được: \(2.2.4! = 96\) cách.Trường hợp 2. Học sinh lớp \(C\) ngồi giữa hai học sinh lớp \(B\), ta gộp thành 1 nhóm, khi đó:+ Hoán vị 4 phần tử gồm 3 học sinh lớp \(A\) và nhóm gồm học sinh lớp \(B\) và lớp \(C\) có: \(4!\) cách.+ Hoán vị hai học sinh lớp \(B\) cho nhau có: \(2!\) cách.Trường hợp này thu được: \(4!.2! = 48\) cách.Như vậy số phần tử của biến cố \(M\) là: \(48 + 96 = 144\).Xác suất của biến cố \(M\) là \(P\left( M \right) = \frac{{144}}{{6!}} = \frac{1}{5}\).

Question 36

Câu 36:

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x – 2y + z – 1 = 0\), \(\left( \beta \right):2x + y – z = 0\) và điểm \(A\left( {1;2; – 1} \right)\). Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A\) và song song với cả hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\,,\,\left( \beta \right)\) có phương trình là

A
\(\frac{x}{1} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{1}\).
B
\(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\).
C
\(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z + 1}}{5}\).
D
\(\frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{{y - 2}}{4} = \frac{{z + 1}}{{ - 2}}\).

mp\(\left( \alpha \right)\) có véc tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; – 2;1} \right)\), mp\(\left( \beta \right)\) có véc tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;1; – 1} \right)\).Đường thẳng \(\Delta \) có véc tơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} } \right] = \left( {1;3;5} \right)\).Phương trình của đường thẳng \(\Delta :\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 2}}{3} = \frac{{z + 1}}{5}\).

Question 37

Câu 37:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để bất phương trình \(\left( {{3^{{x^2} – x}} – 9} \right)\left( {{2^{{x^2}}} – m} \right) \leqslant 0\) có đúng 5 nghiệm nguyên phân biệt?

A
\(65023\).
B
\(65021\).
C
\(65024\)
D
\(65022\).

\(\left( {{3^{{x^2} – x}} – 9} \right)\left( {{2^{{x^2}}} – m} \right) \leqslant 0\)Th1: Xét \({3^{{x^2} – x}} – 9 = 0 \Leftrightarrow {x^2} – x = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = – 1 \hfill \\ x = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.\) là nghiệm của bất phương trình.Th2: Xét \({3^{{x^2} – x}} – 9 > 0 \Leftrightarrow {x^2} – x > 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x < - 1 \hfill \\ x > 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.\).Khi đó, \((1) \Leftrightarrow {2^{{x^2}}} \leqslant m \Leftrightarrow {x^2} \leqslant {\log _2}m\,\,(2)\)Nếu \(m < 1\) thì vô nghiệm.Nếu \(m \geqslant 1\) thì \((2) \Leftrightarrow - \sqrt {{{\log }_2}m} \leqslant x \leqslant \sqrt {{{\log }_2}m} \).Do đó, có 5 nghiệm nguyên \( \Leftrightarrow \left( {\left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)} \right) \cap \left[ { - \sqrt {{{\log }_2}m} ;\sqrt {{{\log }_2}m} } \right]\) có 3 giá trị nguyên \(\sqrt {{{\log }_2}m} \in \left[ {3;4} \right) \Leftrightarrow 512 \leqslant m < 65536\). Suy ra có 65024 giá trị \(m\) nguyên thỏa mãn.Th3: Xét \({3^{{x^2} - x}} - 9 < 0 \Leftrightarrow {x^2} - x < 2 \Leftrightarrow - 1 < x < 2\). Vì \(\left( { - 1;2} \right)\) chỉ có hai số nguyên nên không có giá trị \(m\) nào để bất phương trình có 5 nghiệm nguyên.Vậy có tất cả 65024 giá trị \(m\) nguyên thỏa ycbt.

Question 38

Câu 38:

Cho hai hàm số \(y = f\left( x \right),\,y = g\left( x \right)\) có đồ thị như hình sau: Đề Ôn Thi TN THPT Năm 2023 Môn Toán Online-Đề 13

Khi đó tổng số nghiệm của hai phương trình \(f\left( {g\left( x \right)} \right) = 0\) và \(g\left( {f\left( x \right)} \right) = 0\) là

A
\(25\).
B
\(22\).
C
\(21\).
D
\(26\).

Quan sát đồ thị ta thấy: \(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = {x_1}\left( { – 3 < {x_1} < - 2} \right) \hfill \\ x = - 1 \hfill \\ x = {x_2}\left( {1 < {x_2} < 2} \right) \hfill \\ x = {x_3}\left( {2 < {x_3} < 3} \right) \hfill \\ x = {x_4}\left( {4 < {x_4} < 5} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.\).Do đó: \(f\left( {g\left( x \right)} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} g\left( x \right) = {x_1}\left( 1 \right) \hfill \\ g\left( x \right) = - 1\left( 2 \right) \hfill \\ g\left( x \right) = {x_2}\left( 3 \right) \hfill \\ g\left( x \right) = {x_3}\left( 4 \right) \hfill \\ g\left( x \right) = {x_4}\left( 5 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.\)Phương trình \(\left( 1 \right)\) có đúng \(1\) nghiệm; Phương trình \(\left( 2 \right)\) có đúng \(3\) nghiệm; Phương trình \(\left( 3 \right)\) có đúng \(3\) nghiệm; Phương trình \(\left( 4 \right)\) có đúng \(3\) nghiệm; Phương trình \(\left( 5 \right)\) có đúng \(1\) nghiệm. Tất cả các nghiệm trên đều phân biệt nên phương trình \(f\left( {g\left( x \right)} \right) = 0\) có đúng \(11\) nghiệm.Quan sát đồ thị ta thấy: \(g\left( x \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = {x_5}\left( { - 2 < {x_5} < - 1} \right) \hfill \\ x = {x_6}\left( {0 < {x_6} < 1} \right) \hfill \\ x = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right.\)Do đó \(g\left( {f\left( x \right)} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} f\left( x \right) = {x_5}\left( 6 \right) \hfill \\ f\left( x \right) = {x_6}\left( 7 \right) \hfill \\ f\left( x \right) = 3\left( 8 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.\)Phương trình \(\left( 6 \right)\) có \(5\) nghiệm; Phương trình \(\left( 7 \right)\) có \(5\) nghiệm; Phương trình \(\left( 8 \right)\) có \(1\) nghiệm.Tất cả các nghiệm này đều phân biệt nên phương trình \(g\left( {f\left( x \right)} \right) = 0\) có đúng \(11\) nghiệm.Vậy tổng số nghiệm của hai phương trình \(f\left( {g\left( x \right)} \right) = 0\) và \(g\left( {f\left( x \right)} \right) = 0\) là \(22\) nghiệm.

Question 39

Câu 39:

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có \(f\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = – \frac{8}{3}\) và \(f'\left( x \right) = 16\cos 4x.{\sin ^2}x,\forall x \in \mathbb{R}\). Biết \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = \frac{{31}}{{18}}\), khi đó \(F\left( \pi \right)\) bằng

A
\(\frac{{16}}{3}\).
B
\(\frac{{64}}{{27}}\).
C
\(0\).
D
\(\frac{{31}}{8}\).

Ta có \(f'\left( x \right) = 16\cos 4x.{\sin ^2}x,\forall x \in \mathbb{R}\) nên \(f\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f'\left( x \right)\).Có \(\int {f'\left( x \right){\text{d}}x} = \int {16\cos 4x.{{\sin }^2}x{\text{d}}x} = \int {16.\cos 4x.\frac{{1 – \cos 2x}}{2}{\text{d}}x} = \int {8.\cos 4x{\text{d}}x – \int {8\cos 4x.\cos 2x{\text{d}}x} } \)\( = 8\int {\cos 4x} {\text{d}}x – 8\int {\left( {\cos 6x + \cos 2x} \right){\text{d}}x = 2\sin 4x – \frac{4}{3}\sin 6x – 4\sin 2x + C} \).Suy ra\(f\left( x \right) = 2\sin 4x – \frac{4}{3}\sin 6x – 4\sin 2x + C\). Mà \(f\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = – \frac{8}{3} \Rightarrow C = 0\).Do đó. Khi đó:\(\begin{gathered} F\left( \pi \right) – F\left( 0 \right) = \int\limits_0^\pi {f\left( x \right){\text{d}}x} = \int\limits_0^\pi {\left( {2\sin 4x – \frac{4}{3}\sin 6x – 4\sin 2x + } \right){\text{d}}x} \hfill \\ = \left. {\left( { – \frac{1}{2}\cos 4x + \frac{2}{9}\cos 6x + 2\cos 2x} \right)} \right|_0^\pi = 0 \hfill \\ F\left( \pi \right) = F\left( 0 \right) + 0 = \frac{{31}}{{18}} \hfill \\ \end{gathered} \)

Question 40

Câu 40:

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều, \(SA \bot \left( {ABC} \right)\). Mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) cách \(A\) một khoảng bằng \(a\) và hợp với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) góc \({30^0}\). Thể tích của khối chóp \(S.ABC\) bằng

A
\(\frac{{8{a^3}}}{3}\).
B
\(\frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{{12}}\).
C
\(\frac{{8{a^3}}}{9}\).
D
\(\frac{{4{a^3}}}{9}\).

Gọi \(I\) là trung điểm sủa \(BC\) suy ra góc giữa mp\(\left( {SBC} \right)\) và mp\(\left( {ABC} \right)\) là \(\widehat {SIA} = {30^0}\).\(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \(SI\) suy ra \(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH = a\).Xét tam giác \(AHI\) vuông tại \(H\) suy ra \(AI = \frac{{AH}}{{\sin {{30}^0}}} = 2a\).Giả sử tam giác đều \(ABC\) có cạnh bằng \(x\), mà \(AI\) là đường cao suy ra \(2a = x\frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow x = \frac{{4a}}{{\sqrt 3 }}\).Diện tích tam giác đều \(ABC\) là \({S_{ABC}} = {\left( {\frac{{4a}}{{\sqrt 3 }}} \right)^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{4} = \frac{{4{a^2}\sqrt 3 }}{3}\).Xét tam giác \(SAI\) vuông tại \(A\) suy ra \(SA = AI.\tan {30^0} = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}\).Vậy \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.{S_{ABC}}.SA = \frac{1}{3}.\frac{{4{a^2}\sqrt 3 }}{3}.\frac{{2a}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{8{a^3}}}{9}\).

Question 41

Câu 41:

Trên tập hợp các số phức, xét phương trình \({z^2} – 2\left( {m + 1} \right)z + {m^2} = 0\) (\(m\) là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của \(m\) để phương trình đó có nghiệm \({z_0}\) thoả mãn \(\left| {{z_0}} \right| = 6\)?

A
\(1\).
B
\(2\).
C
\(3\).
D
\(4\).

Ta có \(\Delta ' = {(m + 1)^2} – {m^2} = 2m + 1\).+) Nếu \(\Delta ' \geqslant 0 \Leftrightarrow 2m + 1 \geqslant 0 \Leftrightarrow m \geqslant – \frac{1}{2}\), phương trình có 2 nghiệm thực. Khi đó \(\left| {{z_0}} \right| = 6 \Leftrightarrow {z_0} = \pm 6\).* Thay \({z_0} = 6\) vào phương trình ta được \(36 – 12\left( {m + 1} \right) + {m^2} = 0 \Leftrightarrow {m^2} – 12m + 24 = 0 \Leftrightarrow m = 6 \pm 2\sqrt 3 \) (thoả mãn).* Thay \({z_0} = – 6\) vào phương trình ta được\(36 + 12\left( {m + 1} \right) + {m^2} = 0 \Leftrightarrow {m^2} + 12m + 48 = 0\) (vô nghiệm).+) Nếu \(\Delta ' < 0 \Leftrightarrow 2m + 1 < 0 \Leftrightarrow m < - \frac{1}{2}\), phương trình có 2 nghiệm phức \({z_1},{z_2} \notin \mathbb{R}\) thỏa \({z_2} = \overline {{z_1}} \). Khi đó \({z_1}.{z_2} = {\left| {{z_1}} \right|^2} = {m^2} = {6^2}\) hay \(m = 6\) (loại) hoặc \(m = - 6\) (nhận).Vậy tổng cộng có 3 giá trị của \(m\) là \(m = 6 \pm 2\sqrt 3 \) và \(m = - 6\).

Question 42

Câu 42:

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\)cho hai đường thẳng \(a:\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{{ – 2}};\) \(b:\frac{{x + 1}}{{ – 2}} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{{ – 1}}\)và mặt phẳng \(\left( P \right):x – y – z = 0.\) Viết phương trình của đường thẳng \(d\;\)song song với \(\left( P \right)\), cắt \(a\) và \(b\) lần lượt tại \(M\) và \(N\) mà \(MN = \sqrt 2 .\).

A
\(d:\frac{{7x - 1}}{3} = \frac{{7y + 4}}{8} = \frac{{7z + 8}}{{ - 5}}\).
B
\(d:\frac{{7x - 4}}{3} = \frac{{7y + 4}}{8} = \frac{{7z + 8}}{{ - 5}}\).
C
\(d:\frac{{7x + 4}}{3} = \frac{{7y - 4}}{8} = \frac{{7z + 8}}{{ - 5}}\).
D
\(d:\frac{{7x - 1}}{3} = \frac{{7y - 4}}{8} = \frac{{7z + 3}}{{ - 5}}\).

Gọi \(M\left( {t;t; – 2t} \right)\) và \(N\left( { – 1 – 2t',t', – 1 – t'} \right)\). Suy ra \(\overrightarrow {MN} = \left( { – 1 – 2t' – t;t' – t; – 1 – t' + 2t} \right)\).Do đường thẳng \(d\;\)song song với \(\left( P \right)\) nên \( – 1 – 2t' – t – t' + t + 1 + t' – 2t = 0 \Leftrightarrow t = – t'\).Khi đó \(\overrightarrow {MN} = \left( { – 1 + t; – 2t; – 1 + 3t} \right) \Rightarrow MN = \sqrt {14{t^2} – 8t + 2} \).Ta có \(MN = \sqrt 2 \Leftrightarrow 14{t^2} – 8t + 2 = 2 \Leftrightarrow t = 0 \vee t = \frac{4}{7}\).Với \(t = 0\) thì \(\overrightarrow {MN} = \left( { – 1;0; – 1} \right)\) ( loại do không có đáp án thỏa mãn ).Với \(t = \frac{4}{7}\) thì \(\overrightarrow {MN} = \left( { – \frac{3}{7}; – \frac{8}{7};\frac{5}{7}} \right) = – \frac{1}{7}\left( {3;8; – 5} \right)\) và \(M\left( {\frac{4}{7};\frac{4}{7}; – \frac{8}{7}} \right)\).Vậy \(\frac{{x – \frac{4}{7}}}{3} = \frac{{y – \frac{4}{7}}}{8} = \frac{{z + \frac{8}{7}}}{{ – 5}} \Leftrightarrow \frac{{7x – 4}}{3} = \frac{{7y – 4}}{8} = \frac{{7z + 8}}{{ – 5}}.\)

Question 43

Câu 43:

Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^5} + b{x^4} + c{x^3} + d{x^2} + mx + n\)\(\left( {a,b,c,d,m,n \in \mathbb{R}} \right)\). Đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình vẽ sau Đề Ôn Thi TN THPT Năm 2023 Môn Toán Online-Đề 13

Số điểm cực tiểu của hàm số \(g\left( x \right) = \left| {f\left( x \right) – \left( {1024a + 256b + 64c + 16d + 4m + n} \right)} \right|\) là

A
\(9\).
B
\(7\).
C
\(3\).
D
\(4\).

Đặt \(h\left( x \right) = f\left( x \right) – \left( {1024a + 256b + 64c + 16d + 4m + n} \right) = f\left( x \right) – f\left( 4 \right) \Rightarrow h'\left( x \right) = f'\left( x \right)\)Có: \(f'\left( x \right) = 5a\left( {x + 2} \right)x\left( {x – 1} \right)\left( {x – 3} \right),\;a > 0\).Xét: \(f\left( 1 \right) – f\left( { – 2} \right) = \int\limits_{ – 2}^1 {f'\left( x \right)\,} dx = \int\limits_{ – 2}^1 {5a\left( {x + 2} \right)x\left( {x – 1} \right)\left( {x – 3} \right)\,} dx = – \frac{{99a}}{{10}} < 0 \Rightarrow f\left( { - 2} \right) > f\left( 1 \right)\).Do đó \(h\left( { – 2} \right) > h\left( 1 \right)\).\(f\left( 4 \right) – f\left( { – 2} \right) = \int\limits_{ – 2}^4 {f'\left( x \right)\,} dx = \int\limits_{ – 2}^4 {5a\left( {x + 2} \right)x\left( {x – 1} \right)\left( {x – 3} \right)\,} dx > 0 \Rightarrow f\left( 4 \right) > f\left( { – 2} \right) \Rightarrow h\left( 4 \right) > h\left( { – 2} \right)\)Ta có bảng biến thiên của \(h\left( x \right)\) như sau Đề Ôn Thi TN THPT Năm 2023 Môn Toán Online-Đề 13

Vậy hàm số \(g\left( x \right)\) có 3 điểm cực tiểu.

Question 44

Câu 44:

Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình vuông tâm \(O\), cạnh bằng \(4a\), góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng \({45^0}\). Gọi \(M\) là trung điểm \(AD\), \(H,\,\,K\) lần lượt là hai điểm thay đổi thuộc miền trong tam giác \(SAB\) và \(SCD\) sao cho \(HK\parallel \left( {ABCD} \right)\), \(SHOK\) là tứ giác nội tiếp. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp \(M.SHOK.\)

A
\(\frac{2}{3}{a^3}\).
B
\(\frac{{16\sqrt 6 }}{9}{a^3}\).
C
\(\frac{4}{3}{a^3}\).
D
\(4{a^3}\).

Gọi \(P,\,\,Q\) lần lượt là giao điểm của \(SH\) với \(AB\), \(SK\) với \(CD\), kẻ \(MG \bot PQ\).Vì \(HK\parallel \left( {ABCD} \right),\,\,SO \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(HK \bot SO\).Do tính đối xứng nên \(SO\) đi qua trung điểm của \(HK\).Mà \(SHOK\) là tứ giác nội tiếp nên \(SO\) là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(SHOK\).Ta có: \(\left( {\left( {SAD} \right),\left( {ABCD} \right)} \right) = \widehat {SMO} = {45^0}\), \(SO = 2a\).\({V_{M.SHOK}} = \frac{1}{3}.MG.\frac{1}{2}.SO.HK = \frac{1}{6}.SO.MG.HK = \frac{a}{3}.MG.HK\).Để \({V_{M.SHOK}}\) lớn nhất thì \(MG.HK\) lớn nhất, khi và chỉ khi \(HK\) là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(SHOK\) và \(MG = MO\).Vậy thể tích lớn nhất của khối chóp \(M.SHOK\) là: \(\frac{1}{6}.2a.2a.2a = \frac{4}{3}{a^3}\).

Question 45

Câu 45:

Cho hàm\(f\) xác định, đơn điệu giảm, có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(3{\left[ {f(x)} \right]^2} = 2\int_0^x {\left[ {{{\left( {f(t)} \right)}^3} + {{\left( {{f^\prime }(t)} \right)}^3}} \right]} {\text{d}}t + 2x\) với mọi số thực\(x\). Tích phân\(\int_0^1 {2021{{\left( {f(x)} \right)}^2}x} \,{\text{d}}x\)nhận giá trị trong khoảng nào trong các khoảng sau?

A
\((242;243).\)
B
\((199;200).\)
C
\((201;202).\)
D
\((205;206).\)

Xét \(3{\left[ {f(x)} \right]^2} = 2\int_0^x {\left[ {{{\left( {f(t)} \right)}^3} + {{\left( {{f^\prime }(t)} \right)}^3}} \right]} {\text{d}}t + 2x,\,\forall x \in \mathbb{R}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(*)\)Từ (*), thay \(x = 0\), ta nhận được \(f(0) = 0.\) Hơn nữa, đạo hàm hai vế (*), ta có\(\begin{gathered} 6f(x){f^\prime }(x) = 2{\left( {f(x)} \right)^3} + 2{\left( {{f^\prime }(x)} \right)^3} + 2,\,\forall x \in \mathbb{R} \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {f'(x) + f(x) + 1} \right]\left[ {{{\left( {f'(x) – f(x)} \right)}^2} + {{(f(x) – 1)}^2} + {{(f'(x) – 1)}^2}} \right] = 0,\,\forall x \in \mathbb{R}. \hfill \\ \end{gathered} \)Vì \(f\) đơn điệu giảm trên \(\mathbb{R}\) nên \(f'(x) \leqslant 0\)với mọi \(x \in \mathbb{R}\) nên\({\left( {f'(x) – f(x)} \right)^2} + {(f(x) – 1)^2} + {(f'(x) – 1)^2}{\text{ }} \geqslant {\text{ }}{(f'(x) – 1)^2} > 0.\)Từ đó, ta nhận được\(\begin{gathered} f'(x) + f(x) + 1 = 0,\;\forall x \in \mathbb{R} \hfill \\ \Leftrightarrow {\left[ {{e^x}f(x)} \right]^\prime } = – {e^x},\;\forall x \in \mathbb{R} \hfill \\ \Leftrightarrow \exists \;C \in \mathbb{R}:\;f(x) = – 1 + C{e^{ – x}},\;\forall x \in \mathbb{R}. \hfill \\ \end{gathered} \)Vì \(f(0) = 0\) nên \(C = 1\). Do đó \(f(x) = – 1 + {e^{ – x}},\) với mọi \(x \in \mathbb{R},\)là hàm duy nhất thỏa đềDo đó \(\int_0^1 {2021{{\left( {f(x)} \right)}^2}x} {\text{d}}x = 2021\int_0^1 {{{( – 1 + {e^{ – x}})}^2}x} {\text{d}}x = 2021 \cdot \left( {\frac{4}{e} – \frac{3}{{4{e^2}}} – \frac{5}{4}} \right) \in (242;243).\)

Question 46

Câu 46:

Trong không gian \(Oxyz\) cho \(A\left( {a\,;\,b\,;\,1} \right)\),\(\,B\left( {b\,;\,1\,;a} \right)\,\), \(C\left( {1;\,a\,;\,b} \right)\,\)(với \(a\,,\,b\, \geqslant 0\)), biết mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) cùng với các mặt phẳng tọa độ tạo thành tứ diện có thể tích bằng \(36\). Tìm bán kính nhỏ nhất của mặt cầu \(\left( S \right)\) đi qua 4 điểm \(A,\,B\,,\,C\),\(\,D\left( {1\,;\,2;\,3} \right)\).

A
\(\sqrt 2 \).
B
\(1\).
C
\(\frac{{\sqrt 6 }}{3}\)
D
\(\sqrt 6 \).

Ta có phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \(x + y + z = a + b + 1\)\(\left( {ABC} \right)\) cắt các trục \(Ox\,,\,\,Oy\,,\,\,Oz\) tại các điểm \(M\left( {a + b + 1\,;\,0\,;\,0} \right)\,\,,N\left( {0\,;\,\,a + b + 1\,;\,0} \right)\,,\,\,P\left( {0\,;\,0\,;\,a + b + 1} \right)\)Ta có thể tích khối tứ diện \(OMNP\) là \(V = \frac{{{{\left( {a + b + 1} \right)}^3}}}{6} = 36\) ( do \(a + b \geqslant \,0\)),suy ra \(a + b + 1 = 6\) suy ra \(a + b = 5\) ( do \(a + b \geqslant \,0\)) suy ra phương trình \(\left( {ABC} \right)\) là \(x + y + z – 6 = 0\)Nhận xét: \(D \in \left( {ABC} \right)\), mà theo giả thiết 4 điểm \(A,B,C,D\) cùng thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\) vì vậy \(A,\,B,\,C,\,D\) cùng thuộc đường tròn.Mà tam giác \(ABC\)đều suy ra tâm của đường tròn là \(I\left( {2\,;2;\,2} \right)\,\,,\,\,bk\,\,R = ID = \sqrt 2 \).Mặt cầu \(\left( S \right)\) luôn chứa đường tròn qua 4 điểm \(A,\,B,\,C,\,D\) nên bán kính của mặt cầu \(\left( S \right)\) nhỏ nhất bằng bán kính của đường tròn bằng \(\sqrt 2 \).

Question 47

Câu 47:

Cho các số phức \({z_1},{z_2}\) thỏa mãn các điều kiện: \(\left( {{z_1} + 2 – i} \right)\left( {\overline {{z_1}} + 1 + 2i} \right)\) là một số thực và \(\left| {{z_2} – 1 – 3i} \right| = \left| {{z_2} – 1 + i} \right|\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \left| {{z_1} – {z_2}} \right| + \left| {{z_1} – 5 – 2i} \right| + \left| {{z_2} – 5 – 2i} \right|\) bằng:

A
\(1 + \sqrt {85} \).
B
\(9\).
C
\(10\).
D
\(6 + 3\sqrt 2 \).

Gọi \(M,N,A\)lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức \({z_1} = x + yi,\;{z_2} = c + di,\,{z_3} = 5 + 2i\left( {x,y,a,b \in \mathbb{R}} \right)\)\(\left( {{z_1} + 2 – i} \right)\left( {\overline {{z_1}} + 1 + 2i} \right) = \left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right) – \left( {y – 1} \right)\left( { – y + 2} \right) + \left[ {\left( {x + 2} \right)\left( { – y + 2} \right) + \left( {y – 1} \right)\left( {x + 1} \right)} \right]i\)\(\left( {{z_1} + 2 – i} \right)\left( {\overline {{z_1}} + 1 + 2i} \right)\) là một số thực nên \(\left( {x + 2} \right)\left( { – y + 2} \right) + \left( {y – 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow – xy + 2x – 2y + 4 + xy + y – x – 1 = 0 \Leftrightarrow x – y + 3 = 0\).Suy ra tập các điểm biểu diễn của \({z_1}\) là đường thẳng \({\Delta _1}\) có phương trình \(x – y + 3 = 0\).\(\left| {{z_2} – 1 – 3i} \right| = \left| {{z_2} – 1 + i} \right| \Leftrightarrow {\left( {c – 1} \right)^2} + {\left( {d – 3} \right)^2} = {\left( {c – 1} \right)^2} + {\left( {d + 1} \right)^2} \Leftrightarrow d = 1\)Suy ra tập các điểm biểu diễn của \({z_2}\)là đường thẳng \({\Delta _2}\) có phương trình \(y – 1 = 0\). Đề Ôn Thi TN THPT Năm 2023 Môn Toán Online-Đề 13

Ta có \(P = \left| {{z_1} – {z_2}} \right| + \left| {{z_1} – 5 – 2i} \right| + \left| {{z_2} – 5 – 2i} \right| = MN + MA + NA\)Gọi \(A',\,A''\)lần lượt là các điểm đối xứng với\(A\) qua các đường thẳng \({\Delta _1},\,{\Delta _2}\).Khi đó ta có \(P = MN + MA + NA = MN + MA' + NA'' \geqslant A'A''\)Dấu bằng xảy ra khi các điểm \(A',\,M,\,N,\,A''\)thẳng hàng hay \(M,N\) lần lượt là giao điểm của đường thẳng \(A'A''\) với các đường thẳng \({\Delta _1},\,{\Delta _2}\).Tính được \(A'\left( { – 1;8} \right);\,\,A''\left( {5;0} \right);\,\,A'A'' = 10\).Vậy GTNN của \(P = \left| {{z_1} – {z_2}} \right| + \left| {{z_1} – 5 – 2i} \right| + \left| {{z_2} – 5 – 2i} \right| = A'A'' = 10\).

Question 48

Câu 48:

Cho hai đồ thị \(\left( {{C_1}} \right):y = {\log _2}x\) và \(\left( {{C_2}} \right):y = {2^x}\). \(M,N\) lần lượt là hai điểm thay đổi trên \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\). Giá trị nhỏ nhất của \(MN\) thuộc

A
\(\left( {0;\frac{1}{2}} \right)\).
B
\(\left( {\frac{1}{2};1} \right)\).
C
\(\left( {1;\frac{3}{2}} \right)\).
D
\(\left( {\frac{3}{2}; + \infty } \right)\).

Ta có: \(\left( {{C_1}} \right)\), \(\left( {{C_2}} \right)\) đối xứng qua đường thẳng \(\left( d \right):y = x\).Gọi \(M'\) là điểm đối xứng của \(M\) qua \(d\), \(N'\) là điểm đối xứng của \(N\) qua \(d\). Đề Ôn Thi TN THPT Năm 2023 Môn Toán Online-Đề 13

Nếu \(M \ne N'\) thì \(MM'NN'\) là hình thang cân suy ra \(MN \geqslant \min \left\{ {MM',NN'} \right\}\),do đó \(MN\) nhỏ nhất khi \(M,N\) đối xứng qua \(d\).Gọi \(\Delta \) là tiếp tuyến của \(\left( {{C_2}} \right)\) song song với \(d\) tại điểm \(I\left( {{x_0};{y_0}} \right)\).Khi \(M,N\) đối xứng nhau qua \(d\) thì \(MN = 2d\left[ {N,d} \right] \geqslant 2d\left[ {\Delta ,d} \right]\).Hệ số góc đường thẳng \(\Delta \) là \({k_\Delta } = 1\).Ta có: \(y = {2^x} \Rightarrow y' = {2^x}\ln 2\).\({k_\Delta } = 1 \Leftrightarrow {2^{{x_0}}}\ln 2 = 1 \Leftrightarrow {x_0} = – {\log _2}\left( {\ln 2} \right)\)\( \Rightarrow {y_0} = \frac{1}{{\ln 2}}\).\( \Rightarrow \left( \Delta \right):y = x + {\log _2}\left( {\ln 2} \right) + \frac{1}{{\ln 2}}\).\( \Rightarrow d\left[ {d,\Delta } \right] = \frac{{\left| {{{\log }_2}\left( {\ln 2} \right) + \frac{1}{{\ln 2}}} \right|}}{{\sqrt 2 }} \approx 0.65\)Ta có: \(M{N_{\min }} = \sqrt 2 \left| {\log \left( {\ln 2} \right) + \frac{1}{{\ln 2}}} \right| \approx 1.29\)

Question 49

Câu 49:

Điểm \(M\) trong hình vẽ là biểu diễn hình học của số phức \(z\). Tính module của \(z\). Đề Ôn Thi TN THPT Năm 2023 Môn Toán Online-Đề 13

A
\(\left| z \right| = 1\).
B
\(\left| z \right| = 3\).
C
\(\left| z \right| = 5\).
D
\(\left| z \right| = \sqrt 5 \).

Question 50

Câu 50:

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), tìm tọa độ tâm \(I\) và tính bán kính \(R\) của mặt cầu \(\left( S \right)\): \({x^2} + {y^2} + {z^2} – 4x + 2z + 4 = 0\).

A
\(I\left( {2;0; - 1} \right)\), \(R = 1\).
B
\(I\left( {2;0; - 1} \right)\), \(R = 3\).
C
\(I\left( {4;0; - 2} \right)\), \(R = 3\).
D
\(I\left( { - 2;0;1} \right)\), \(R = 1\).

Đề Ôn Thi TN THPT Năm 2023 Môn Toán Online-Đề 13

Tổng Quan Về Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập

Đề Kiểm Tra: Đề Ôn Thi TN THPT Năm 2023 Môn Toán Online-Đề 13

Giải thích & Đáp án chi tiết

Giá Trị Đích Thực Của Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập

Hướng Dẫn Sử Dụng Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập Hiệu Quả

Đặc Điểm Nổi Bật Của Nền Tảng

Lưu Ý Quan Trọng Về Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập

Hỏi Đáp Cùng sachhoang.name.vn

Tổng Kết Về Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập